已知a，b∈R，a≠0，曲线y=a+2x，y=ax+2b+1，若两条曲线在区间[3，4]上至少有一个公共点，则a2+b2的最小值=．

Question

已知a，b∈R，a≠0，曲线y=(a+2)/(x)，y=ax+2b+1，若两条曲线在区间[3，4]上至少有一个公共点，则a²+b²的最小值=___．

Answer 1

∵曲线y=(a+2)/(x)，y=ax+2b+1，
∴(a+2)/(x)=ax+2b+1，
∴a+2=ax²+2bx+x，
∴（x²-1）a+2bx+x-2=0，
于是可以看作关于a，b的直线方程，则（a，b）是该直线上的点，
则a²+b²表示原点到直线的距离的平方，
设原点到直线的距离为d，根据到点直线的距离公式得到
d=(|x-2|)/(√((x2-1)2+4x2))，
∴a²+b²=d²=((x-2)2)/((x2+1)2)=((x-2)/(x2+1))2，
令t=x-2，x∈[3，4]，则t∈[1，2]，则x=t+2，
∴a²+b²=d²=((t)/((t+2)2+1))2=((t)/(t2+4t+5))2=((1)/(t+(5)/(t)+4))2，
设f（t）=t+(5)/(t)+4，t∈[1，2]，
∴f′（t）=1-(5)/(t2)<0在∈[1，2]恒成立，
∴函数f（t）在∈[1，2]为减函数，
∴当t=1时，f（t）max=f（1）=1+5+4=10，
∴当t=1时，a²+b²最小值为(1)/(100)，