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设f(x)在[-a,a]上连续,且f(-a)=f(a),证明:在[0,a]上至少存在一点α,使f(α-a)=f(α)
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设f(x)在[-a,a]上连续,且f(-a)=f(a),证明:在[0,a]上至少存在一点α,使f(α-a)=f(α)
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答案和解析
作辅助函数g(x)=f(x-a)-f(x),则问题转化为证明g(x)在[0,a]上存在零点,由于g(0)=f(-a)-f(0)=f(a)-f(0),g(a)=f(0)-f(a)=-g(0),如果g(0)=g(a)=0,则取ξ=0（或a）即可,如果g(0)和g(a)均不为0,则有g(0)g(a)<0,根据连续函数的零点定理,知存在ξ属于(0,a),使得g(ξ)=0.
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