已知抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F（1，0），过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=-2相交于M，N两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）证明△ABO与△MNO的面积之比为定值

Question

已知抛物线C：y²=2px的焦点坐标为F（1，0），过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=-2相交于M，N两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．

Answer 1

（Ⅰ）由焦点坐标为（1，0）可知(p)/(2)＝1，p=2
∴抛物线C的方程为y²=4x
（Ⅱ）当直线l垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，
∴(S△ABO)/(S△MNO)＝((|OF|)/(2))2＝(1)/(4)．
当直线l与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k（x-1），
设M（-2，y_M），N（-2，y_N），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解  

y＝k(x−1)

y2＝4x

整理得  k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
∵∠AOB=∠MON，
∴x₁•x₂=1．∴(S△ABO)/(S△MNO)＝((1)/(2)•AO•BO•sin∠AOB)/((1)/(2)•MO•NO•sin∠MON)＝(AO)/(MO)•(BO)/(NO)＝(x1)/(2)•(x2)/(2)＝(1)/(4)．
综上    (S△ABO)/(S△MNO)＝(1)/(4)