抛物线y=-x2+6x-5与x轴交点为A，B（A在B左侧），顶点为D．与Y轴交于点C．（1）求△ABC的面积．（2）若在抛物线上有一点M，使△ABM的面积是△ABC的面积的2倍．求M点坐标．（3）在该抛物线的对

Question

抛物线y=-x²+6x-5与x轴交点为A，B（A在B左侧），顶点为D．与Y轴交于点C．
（1）求△ABC的面积．
（2）若在抛物线上有一点M，使△ABM的面积是△ABC的面积的2倍．求M点坐标．
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如图1，

当x=0时，y=-5．
∴C（0，-5）．
∴OC=5
当y=0时，-x²+6x-5=0，
解得：x₁=1，x₂=5，
∴A（1，0），B（5，0）．
∴AB=4，
∴S△_ABC=(4×5)/(2)=10．
答：△ABC的面积为10；
（2）如图2，

∵y=-x²+6x-5，
∴y=-（x-3）²+4
∴顶点E坐标为（3，4）．
当M在x轴的上方时，三角形ABM的最大值为：(4×4)/(2)=8≠20．
∴M在x轴的下方．
设M（m，-m²+6m-5），
∴△ABM的AB边上的高为m²-6m+5，
∴(4(m2−6m+5))/(2)=20，
解得：m₁=3+√(14)，m₂=3-√(14)，
∴M（3+√(14)，-10）或（3-√(14)，-10）；
（3）如图3，

连结CB交对称轴于点Q，直线CB的解析式为y=kx+b，由题意，得

−5＝b

0＝5k+b

，
解得：

k＝1

b＝−5

，
∴y=x-5．
当x=3时，
y=-2，
∴Q（3，-2）．