（本小题满分13分）若数列满足：（1）；（2）；（3），则称数列为“和谐”数列．（Ⅰ）验证数列，其中，是否为“和谐”数列；（Ⅱ）若数列为“和谐”数列，证明

Question

（本小题满分13分）
若数列 　满足：（1） ；（2） ；
（3） ，则称数列 为“和谐”数列．
（Ⅰ）验证数列 ，其中 ， 是否为“和谐”数列；
（Ⅱ）若数列 为“和谐”数列，证明： ．

Answer 1

（Ⅰ）数列 为“和谐”数列，数列 不是“和谐”数列．（Ⅱ）见解析

（Ⅰ）数列 为“和谐”数列；数列 不是“和谐”数列．
数列 显然符合（1）
因为 所以符合（2）
因为 ，所以符合（3）
所以数列 为“和谐”数列．  　　　　　　　　　　　　 …………2分
对于数列 ，有
,
所以　数列 不满足（3），因此　数列 不是“和谐”数列．　…………4分　　　　　www.ks5u.com　           
（Ⅱ）反证法：若 不恒成立，即存在自然数 ， ， ，
由（2）可知， ，得 ，
依次类推当 时， 递增，与对任意 ，与 矛盾，
所以                                  ……………10分
构造数列 ，令
由（2）可知 ，


=
= ，
由（3）知
得：
即： ，所以 ．              ………13分
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注：不同解法请教师参照评标酌情给分．