平面四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,AB=1,EF=√2,CD=√3,向量AD*BC=15,向量AC*BD=?

Question

平面四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,AB=1,EF=√2,CD=√3,向量AD*BC=15,向量AC*BD=?
 

Answer 1

过程省略向量2字：
AB=AE+EF+FB=AD/2-BC/2+EF,即：AB-EF=AD/2-BC/2
DC=DE+EF+FC=EF-AD/2+BC/2,即：DC-EF=-(AD/2-BC/2)
故：AB-EF=-(DC-EF),即：2EF=AB+DC
故：4|EF|^2=|AB|^2+|DC|^2+2AB·DC,即：AB·DC=2
分别延长BA和CD,交于O点,则：AD=OD-OA,BC=OC-OB
故：AD·BC=(OD-OA)·(OC-OB)=OC·OD+OA·OB-OA·OC-OB·OD=15
即：OC·OD+OA·OB=OA·OC+OB·OD+15
而：AC=OC-OA,BD=OD-OB,故：ACBD=(OC-OA)·(OD-OB)
=OA·OB+OC·OD-OA·OD-OB·OC
=OA·OC+OB·OD+15-OA·OD-OB·OC=OA·(OC-OD)+OB·(OD-OC)+15
=OA·DC-OB·DC+15=(OA-OB)·DC+15=15-AB·DC15-2=13