如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB＝3，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°（Ⅰ）若PB＝12，求PA；（Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．

Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB＝√(3)，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°

（Ⅰ）若PB＝(1)/(2)，求PA；
（Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．

Answer 1

（I）在Rt△PBC中，cos∠PBC=(PB)/(BC)=(1)/(2)，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．
在△PBA中，由余弦定理得PA²=PB²+AB²-2PB•ABcos30°=((1)/(2))2+(√(3))2-2×(1)/(2)×√(3)×(√(3))/(2)=(7)/(4)．
∴PA=(√(7))/(2)．
（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°-α）=sinα．
在△PBA中，由正弦定理得(AB)/(sin∠APB)=(PB)/(sin∠PAB)，即(√(3))/(sin150°)=(sinα)/(sin(30°-α))，
化为√(3)cosα=4sinα．∴tanα=(√(3))/(4)．