如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为半径的O交AC于点E，交BC于点D，过点D作O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若CE=2，CD=3，求AB的长；（3）若O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为半径的 O交AC于点E，交BC于点D，过点D作 O的切线DF，交AC于点F．

（1）求证：DF⊥AC；
（2）若CE=2，CD=3，求AB的长；
（3）若 O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接AD、OD
∵AB为 O的直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴点D是BC的中点，
∵点O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，OD∥AC，
∵DF是 O的切线，OD是过切点的半径，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC；

（2） 如图2，连接BE
∵AB为 的直径，
∴BE⊥AC，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
而∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCE，
∴(CD)/(CE)=(AC)/(BC)，
∴(3)/(2)=(AC)/(6)，
解得：AC=9，
∴AB=AC=9；

（3） 如图3，连接OE，
在Rt△CDF中，∵∠CDF=22.5°，∴∠C=67.5°，
∴∠ABC=∠C=67.5°，∠A=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∴S_阴影=S_扇形AOE-S_△AOE=(90π×((9)/(2))2)/(360)-(1)/(2)×(9)/(2)×(9)/(2)=(81(π-2))/(16)．