在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=a，BC=b．（1）设E、F分别为AB1、BC1的中点，求证：EF∥平面ABC；（2）求证：A1C1⊥AB；（3）求点B1到平面ABC1的距离．

Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，BC=b．
（1）设E、F分别为AB₁、BC₁的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：A₁C₁⊥AB；
（3）求点B₁到平面ABC₁的距离．

Answer 1

（1）证明：∵E、F分别为AB₁、BC₁的中点，
∴EF∥A₁C₁．∵A₁C₁∥AC，∴EF∥AC．
∴EF∥平面ABC．
（2）证明：∵AB=CC₁，∴AB=BB₁．又三棱柱为直三棱柱，∴四边形ABB₁A₁为正方形．连接A₁B，则A₁B⊥AB₁．
又∵AB₁⊥BC₁，∴AB₁⊥平面A₁BC₁．
∴AB₁⊥A₁C₁．
又A₁C₁⊥AA₁，∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁．
∴A₁C₁⊥AB．
（3）∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁∥平面ABC₁．
∴A₁到平面ABC₁的距离等于B₁到平面ABC₁的距离．
过A₁作A₁G⊥AC₁于点G，
∵AB⊥平面ACC₁A₁，
∴AB⊥A₁G．从而A₁G⊥平面ABC₁，故A₁G即为所求的距离，即A₁G=(a)/(b)√(b2−a2)，
∴点B₁到平面ABC₁的距离(a)/(b)√(b2−a2)．