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已知A，B是n阶方阵，且满足A2=A，B2=B，与（A-B）2=A+B，试证：AB=BA=0．
题目详情
已知A，B是n阶方阵，且满足A2=A，B2=B，与（A-B）2=A+B，试证：AB=BA=0．
▼优质解答
答案和解析
证明：因为 （A-B）2=（A-B）（A-B）=（A+B）（A-B）
于是 A2-BA-AB+B2=A2+BA-AB-B2，所以 AB=BA，（A-B）2=A+B，A2-AB-BA+B2=A+B
因为 A2=A，B2=B，所以 2AB=0，所以AB=BA=0．
证毕．
于是 A2-BA-AB+B2=A2+BA-AB-B2，所以 AB=BA，（A-B）2=A+B，A2-AB-BA+B2=A+B
因为 A2=A，B2=B，所以 2AB=0，所以AB=BA=0．
证毕．
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