利用拉格朗日乘数法求平面x+2y+z=1上一点,使该点到原点的距离最小

Question

利用拉格朗日乘数法求平面x+2y+z=1上一点,使该点到原点的距离最小

Answer 1

设平面x+2y+z=1上一点坐标为(x,y,z),则该点到原点距离的平方可表示为d(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,该问题转化为求d(x,y,z)在条件φ(x,y,z)=x+2y+z-1=0下的极值.作拉格朗日函数L(x,y,z)=d(x,y,z)+λφ(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+λ(x+2y+z-1),分别求L(x,y,z)对x,y,z的偏导数并令其等于0.可得 x=z=-λ/2,y=-λ.将其代入条件x+2y+z-1=0,得λ=-1/3,所以x=z=1/6,y=1/3,d=1/6,即平面x+2y+z=1上的点(1/6,1/3,1/6)到原点距离最小,最小距离为1/根号6.
另外平面外一点到平面上点的最小距离即为该点到平面的距离,根据点到平面的距离公式也可得出相同结果.