（2014•苏州一模）如图，在空间直角坐标系O-xyz中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为32，点M，N分别在PA，BD上，且PMPA＝BNBD＝13．（1）求证：MN⊥AD；（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值．

Question

（2014•苏州一模）如图，在空间直角坐标系O-xyz中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为3√(2)，点M，N分别在PA，BD上，且(PM)/(PA)＝(BN)/(BD)＝(1)/(3)．
（1）求证：MN⊥AD；
（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：由题意，A（3，0，0），D（0，-3，0），M（1，0，2），N（0，1，0），则

MN

=（-1，1，-2），

AD

=（-3，-3，0）．
∴

MN

•

AD

=3-3+0=0，
∴

MN

⊥

AD

，
∴MN⊥AD；
（2）∵P（0，0，3），A（3，0，0），D（0，-3，0），
∴

PA

=（3，0，-3），

AD

=（-3，-3，0），
设平面PAD的法向量为

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问题解析

（1）求出

MN

=（-1，1，-2），

AD

=（-3，-3，0），证明

MN

•

AD

=3-3+0=0，可得

MN

⊥

AD

，即可证明MN⊥AD；
（2）求出平面PAD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求MN与平面PAD所成角的正弦值．

名师点评

本题考点：

直线与平面所成的角．

考点点评：

本题考查线线垂直，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．

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