如果函数的一个点不是间断点,那么这个点必有导数吗?比如f（x）=丨x丨中x=0是不是这个函数的间断点?

Question

如果函数的一个点不是间断点,那么这个点必有导数吗?
比如f（x）=丨x丨中 x=0是不是这个函数的间断点?

Answer 1

间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象,那么,xo就称为函数的不连续点.
设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义.如果函数f(x)有下列情形之一：
（1）在x=x0没有定义；
（2）虽在x=x0有定义,但x→x0 limf(x)不存在；
（3）虽在x=x0有定义,且x→x0 limf(x)存在,但x→x0 limf(x)≠f(x0),
则函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的间断点.
类型：
可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等,但不等于该点函数值或函数在该点无定义.如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处.
跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在,但不相等.如函数y=|x|/x在点x=0处.
无穷间断点：函数在该点可以无定义,且左极限、右极限至少有一个为∞.如函数y=tanx在点x=π/2处.
振荡间断点：函数在该点可以有无定义,当自变量趋于该点时,函数值在两个常数间变动无限多次.如函数y=sin(1/x)在x=0处.
可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点,也叫有限型间断点.其它间断点称为第二类间断点.
所以：f（x）=丨x丨中 x=0不是这个函数的间断点
可导的函数一定连续.不连续的函数一定不可导.
如果函数的一个点不是间断点,那么这个点必有导数