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设A为n阶方阵，并且满足A2-A-2E=Θ，证明：A及A+2E都可逆，并求A-1及（A+2E）-1．
题目详情
设A为n阶方阵，并且满足A2-A-2E=Θ，证明：A及A+2E都可逆，并求A-1及（A+2E）-1．
▼优质解答
答案和解析
由A2-A-2E=Θ，得A（A-E）=2E
因此A和A-E可逆，且A-1=
又A+2E=A2是可逆的
设（A+2E）（A+xE）=kE，x和k是待定的常数
则得：A2+（x+2）A-（k-2x）E=0
与矩阵方程比较，得
x=-3，k=-4
从而(A-E)-1=-
(A-3E)
因此A和A-E可逆，且A-1=
| 1]2(A-E) |
又A+2E=A2是可逆的
设（A+2E）（A+xE）=kE，x和k是待定的常数
则得：A2+（x+2）A-（k-2x）E=0
与矩阵方程比较，得
x=-3，k=-4
从而(A-E)-1=-
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