如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ABB1A1是菱形，四边形CBB1C1是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A1AB=60°，D、E分别是AC、A1B的中点．（Ⅰ）求证：平面CA1B⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：DE∥平面CBB1C1

Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是菱形，四边形CBB₁C₁是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A₁AB=60°，D、E分别是AC、A₁B的中点．
（Ⅰ）求证：平面CA₁B⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求证：DE∥平面CBB₁C₁；
（Ⅲ）求四面体A₁ABC的体积．

Answer 1

（Ⅰ证明：∵四边形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC
∴AB⊥BC，BC⊥BB₁，AB∩BB₁=B
∴CB⊥平面ABB₁A₁，
∵CB⊂平面CA₁B
∴平面CA₁B⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）证明：取AB的中点O，连接OD，OE，则
∵D、E分别是AC、A₁B的中点，
∴OD∥BC，OE∥AA₁∥BB₁，
∵OD∩OE=O，BC∩BB₁=B，
∴平面DEO∥平面CBB₁C₁，
∵DE⊂平面DEO，
∴DE∥平面CBB₁C₁；
（Ⅲ）连接A₁O，则
∵四边形ABB₁A₁是菱形，∠A₁AB=60°，
∴A₁O⊥AB，
∵BC⊥平面ABB₁A₁，
∴BC⊥A₁O，
∵AB∩BC=B，
∴A₁O⊥平面ABC，
∴VA1ABC=(1)/(3)×((1)/(2)×3×4)×2√(3)=4√(3)．