如图，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积．

Question

如图，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵CD⊥BD，AB∩BD=B，
∴CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴AB⊥BD．
∵AB=BD=1，
∴S_△ABD=(1)/(2)，
∵M为AD中点，
∴S_△ABM=(1)/(2)S_△ABD=(1)/(4)，
∵CD⊥平面ABD，
∴V_A-MBC=V_C-ABM=(1)/(3)S_△ABM•CD=(1)/(12)．