如图，已知ΔABD是等腰直角三角形，∠D=90°，BD=．现将ΔABD沿斜边的中线DC折起，使二面角A-DC-B为直二面角，E是线段AD的中点，F是线段AC上的一个动点(不包括A)．(1)确定F的位置，使得平面ABD⊥

Question

如图，已知ΔABD是等腰直角三角形，∠D=90°，BD=．现将ΔABD沿斜边的中线DC折起，使二面角A-DC-B为直二面角，E是线段AD的中点，F是线段AC上的一个动点(不包括A)．
(1)确定F的位置，使得平面ABD⊥平面BEF；
(2)当直线BD与直线EF所成的角为60°时，求证：平面ABD⊥平面BEF．

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Answer 1

【分析】(1)以C为原点，分别以CB、CD、CA为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系，根据•=0，可知AD⊥BE，根据面ABD与面BEF垂直的性质定理可知AD⊥面BEF，则AD⊥EF，即，即可得到F点与C点重合时满足条件；
(2)根据=求出z，由F是线段AC上(不包括A、C)的点得z=0，从而F点与C点重合，则AD⊥EF，从而得到结论．

证明：(1)由已知二面角A-DC-B为直二面角，又AC⊥CD，
∴AC⊥面BCD
在RtΔACD中，CD=1，∠ADC=45°，
∴AC=1．
以C为原点，分别以CB、CD、CA为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)．
∵E为AD中点，
∴E(0，，)，
∵，
∴AD⊥BE．
若面ABD⊥面BEF，则AD⊥面BEF，则AD⊥EF，即，
设F(0，0，z)，则(0，1，-1)•(0，-，z-)=0，
∴(-)•1+(-1)•(z-)=0⇒z=0，
∴F点坐标为(0，0，0)，即F点与C点重合时，平面ABD⊥平面BEF．
(2)由(1)知
=解得z=0或z=1，
由F是线段AC上(不包括A、C)的点得z=0
∴F点坐标为(0，0，0)，即F点与C点重合，
∴AD⊥EF，
又BC⊥AD
∴平面ABD⊥平面BEF

【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．