如图，矩形ABCD中，AD>AB，AB=1，点E是AD的中点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，延长BF交CD边于点G，连结EG．（1）求证：△EFG≌△EDG；（2）若点G恰是CD边的中点，求AD的长；（3）若△ABE与△BCG相似

Question

如图，矩形ABCD中，AD>AB，AB=1，点E是AD的中点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，延长BF交CD边于点G，连结EG．

（1）求证：△EFG≌△EDG；
（2）若点G恰是CD边的中点，求AD的长；
（3）若△ABE与△BCG相似，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴AE=FE，∠EFB=∠EAB=90°，
∴∠EFG=∠EDG=90°．
∵AE=DE，
∴FE=DE．
∴在Rt△EFG与Rt△EDG中，

EF=ED

EG=EG

，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL）．
∴DG=FG；
（2） 若G是CD的中点，则DG=CG=(1)/(2)，
∵在Rt△BCG中，BC=√(BG2-CG2)=√(2)，
∴AD=√(2)．
（3） 由题意AB∥CD，
∴∠ABG=∠CGB．
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴∠ABE=∠FBE=(1)/(2)∠ABG，
∴∠ABE=(1)/(2)∠CGB．
∴若△ABE与△BCG相似，则必有∠ABE=∠CBG=30°．
在Rt△ABE中，AE=ABtan∠ABE=(√(3))/(3)，
∴AD=2AE=(2√(3))/(3)．