急救一道高中几何题!矩形ABCD中,AB=2BA=2a,E为AB中点,将B沿线段EC折叠至P,连结PA,PC,PD,取PD中点F,AF平行与面PEC,若异面直线PE,CD所成角是60度,求证面PEC垂直面AECD对不起打错了，是AB=BC=2a

Question

急救一道高中几何题!
矩形ABCD中,AB=2BA=2a,E为AB中点,将B沿线段EC折叠至P,连结PA,PC,PD,取PD中点F,AF平行与面PEC,若异面直线 PE,CD所成角是60度,
求证面PEC垂直面AECD
对不起打错了，是AB=BC=2a

Answer 1

题中AB=2BA=2a 改为 AB=2BC=2a
过P做PG垂直EC于点G,连接BG,DG,PB
因为 矩形ABCD中,AB=2BC=2a,E为AB中点,将B沿线段EC折叠至P
所以 PE=PC=BE=BC=a,角EPC=角EBC=90度,三角形EBC全等于三角形EPC
因为 PG垂直EC
所以 BG垂直EC,PG=BG=√2a/2
因为 矩形ABCD
所以 CD//AB
所以 角PEB就是异面直线 PE,CD所成角
因为 异面直线 PE,CD所成角是60度
所以 角PEB=60度
因为 PE=BE
所以 三角形EBP是等边三角形
所以 PB=a
因为 PG=BG=√2a/2
所以 PB^2=PG^2+PB^2
所以 角PGB=90度
所以 PG垂直BG
因为 PG垂直EC
因为 BG,EC在平面AECD内
所以 PG垂直面AECD
因为 面PEC过PG
所以 面PEC垂直AECD