如图，将等腰直角三角板放在正方形ABCD的顶点B处，且三角板中BE=EF．连AE，再作EG⊥AE且EG=AE．绕点B旋转三角板，并保证线段FG与正方形的边CD交于点H．（1）求证：△ABE≌△GFE．（2）当DH取得

Question

如图，将等腰直角三角板放在正方形ABCD的顶点B处，且三角板中BE=EF．连AE，再作EG⊥AE且EG=AE．绕点B旋转三角板，并保证线段FG与正方形的边CD交于点H．
（1）求证：△ABE≌△GFE．
（2）当DH取得最小值时，求∠ABE的度数．
（3）当三角板有两个顶点在边BC上时，求(GH)/(EF)的值．

Answer 1

（1）证明：在△ABE和△GFE中，

BE=FE

∠AEB=∠CEF

AE=CE

，
∴△ABE≌△GFE，
（2）∵△ABE≌△GFE，
∴∠BAE=∠BGN，
∵∠AMN=∠EMG，
∴∠ANM=∠MEG=90°，
∴MH⊥AB，
同理得，DH=AN，
要使DH最小，则BN最大，
∵BN≤BF，
∴当BF与BN重合时，AN最小，
∴∠ABE=∠FBE=45°
（3）在△APE和△ECG中，

AP=EC

∠BAE=CEG

AE=CE

，
∴△APE≌△ECG，
∴GH=BF，
∴∠ECG=APE=135°
∴△HCG是等腰直角三角形，
∴HG=CH=FE，
∴(HG)/(EF)=1，
∵FG=AB=BC，
∴HG=BF，
∴(GH)/(EF)=√(2)．