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如图,正方形ABCD边长为12,E为CD上一点,沿AE将△ADE折叠得△AEF,延长EF交BC于G,连接AG、CF,BG=6,下列说法正确的有()①△ABG≌△AFG;②DE=4;③AG∥CF;④S△FGC=725.A.1个B.2个C.3个D.

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如图,正方形ABCD边长为12,E为CD上一点,沿AE将△ADE折叠得△AEF,延长EF交BC于G,连接AG、CF,BG=6,下列说法正确的有(  )
①△ABG≌△AFG;②DE=4;③AG∥CF;④S△FGC=
72
5
.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
▼优质解答
答案和解析
①正确.
因为AB=AD=AF,AG=AG,∠B=∠AFG=90°,
∴△ABG≌△AFG(HL);
②正确.
因为:EF=DE,设DE=FE=x,则CG=6,EC=12-x.
在直角△ECG中,根据勾股定理,得(12-x)2+36=(x+6)2
解得x=4.
∴DE=4.
③正确.
因为CG=BG=GF,
所以△FGC是等腰三角形,∠GFC=∠GCF.
又∵∠AGB=∠AGF,∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF,
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF,
∴AG∥CF;
④正确.
过F作FH⊥DC,
∵BC⊥DH,
∴FH∥GC,
∴△EFH∽△EGC,
FH
GC
=
EF
EG
,EF=DE=4,GF=6,
∴EG=10,
∴△EFH∽△EGC,
∴相似比为:
FH
GC
=
EF
EG
=
2
5

∴S△FGC=S△GCE-S△FEC=
1
2
×6×8-
1
2
×8×(
2
5
×6)=
72
5

综上可得①②③④正确,共4个.
故选D.