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如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,作∠BAD和∠BCD的平分线,分别交BD于点G、H,延长AG交BC于点E,延长CH交AD于点F.(1)求证:△ABG≌△CDH;(2)若∠BAE=2∠EAC,试判断四边形AECF是
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如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,作∠BAD和∠BCD的平分线,分别交BD于点G、H,延长AG交BC于点E,延长CH交AD于点F.
(1)求证:△ABG≌△CDH;
(2)若∠BAE=2∠EAC,试判断四边形AECF是怎样的特殊四边形,并加以证明.
(1)求证:△ABG≌△CDH;
(2)若∠BAE=2∠EAC,试判断四边形AECF是怎样的特殊四边形,并加以证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠BCD,
∴∠ABG=∠CDH,
∵AG,CH分别是∠BAD和∠BCD的平分线,
∴∠BAG=
∠BAD,∠DCH=
∠BCD,
∴∠BAG=∠DCH,
在△ABG和△CDH中,
,
∴△ABG≌△CDH(ASA);
(2)四边形AECF是菱形.
理由:∵AG平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∵∠BAE=2∠EAC,
∴∠DAE=2∠EAC,
∴∠EAC=∠FAC,
在△ABE和△CDF中,
,
∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴BE=DF,
∵▱ABCD中,AD∥BC,AD=BC,
∴AF=CE,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴∠ACE=∠CAF,
∴∠ACE=∠CAE,
∴AE=EC,
∴四边形AECF是菱形.
∴AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠BCD,
∴∠ABG=∠CDH,
∵AG,CH分别是∠BAD和∠BCD的平分线,
∴∠BAG=
1 |
2 |
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∴∠BAG=∠DCH,
在△ABG和△CDH中,
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∴△ABG≌△CDH(ASA);
(2)四边形AECF是菱形.
理由:∵AG平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∵∠BAE=2∠EAC,
∴∠DAE=2∠EAC,
∴∠EAC=∠FAC,
在△ABE和△CDF中,
|
∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴BE=DF,
∵▱ABCD中,AD∥BC,AD=BC,
∴AF=CE,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴∠ACE=∠CAF,
∴∠ACE=∠CAE,
∴AE=EC,
∴四边形AECF是菱形.
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