如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC边上，连接AD，点E在直线AC上，直线DE交直线BA于点F，且∠BDA=∠CDE（1）求证：BF•CE=AB2；（2）当∠BAC=120°时，作射线CF，在射线CF上确定一点G，使∠BGC=

Question

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC边上，连接AD，点E在直线
AC上，直线DE交直线BA于点F，且∠BDA=∠CDE

（1）求证：BF•CE=AB²；
（2）当∠BAC=120°时，作射线CF，在射线CF上确定一点G，使∠BGC=∠ABC，直线BG交直线AC于H，请你猜想AB，CE，AH这三条线段之间的数量关系，并且证明你的猜想．

Answer 1

（1）如图1，过A作DF的平行线交BC于K，
∵AK∥DF，
∴(AB)/(BF)=(BK)/(BD)；
∵AK∥DE，
∴(CE)/(AC)=(CD)/(CK)；
∵∠BDA=∠CDE，
∴∠AKC=∠ADB；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，在△ABD与△ACK中，

∠B=∠C

∠ADB=∠AKC

AB=AC

，
∴△ABD≌△ACK（AAS），
∴BD=CK，BK=CD，
∴(BK)/(BD)=(CD)/(CK)，
∴(AB)/(BF)=(CE)/(AC)，
∴BF•CE=AB•AC，而AB=AC，
∴BF×CE=AB²．
（2）∵∠BGC=∠BCH，∠GBC=∠CBH，
∴△GBC∽△CBH，
∴∠BHC=∠BCG；
∵∠FBC=∠HCB，
∴△BHC∽△FCB，
∴(CH)/(BC)=(BC)/(BF)，
∴BC²=CH×BF；
过点A作BC的垂线，垂足是K；
∵∠BAC=120°，
∴∠B=∠ACB=30°，BK=CK=(1)/(2)BC；
∵∠AKB=90°，
∴cos∠ABK=(BK)/(AB)=(√(3))/(2)，
∴BC²=3AB²，由（1）得BF×CE=AB²，
∴CH×BF=3BF×CE
∴CH=3CE．
①如图2，当H在AC上时，
AB、CE、AH这三条线段之间的数量关系：3CE+AH=AB．
②如图3，当H在CA延长线上时，
AB、CE、AH这三条线段之间的数量关系：3CE-AH=AB．