如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和C的距离分别为1，2，3，将△ABP绕点B旋转至△CBP′，连接PP′．（1）求证：△BPP′是等腰直角三角形；（2）求∠APB的度数．

Question

如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和C的距离分别为1，2，3，将△ABP绕点B旋转至△CBP′，连接PP′．

（1）求证：△BPP′是等腰直角三角形；
（2）求∠APB的度数．

Answer 1

（1）证明：∵将△ABP绕点B旋转至△CBP′，
∴△ABP≌△CBP′，
∴∠PBP′=∠ABC=90°，BP=BP′=2，P′C=AP=1，∠APB=∠BP′C
∴△BPP′为等腰直角三角形；
（2） 连接PC，如图所示：
由（1）得：△BPP′为等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=√(22+22)=2√(2)，
∵PP′²+P′C²=8+1=9=PC²，
∴△BP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠BP′C=90°+45°=135°．