在三角形ABC中,∠ACB=2∠ABC,P是三角形内一点,且AP=AC,PB=PC,求证∠BAC=3∠BAP

Question

在三角形ABC中,∠ACB=2∠ABC,P是三角形内一点,且AP=AC,PB=PC,求证∠BAC=3∠BAP

Answer 1

首先过P点做BC的垂直平分线,交BC于E,交AB于D
这样,我们就知道DBC,是一个等腰三角形
∠DBC=∠DCB,又因为∠ACB=2∠ABC,所以CD是∠ACB的角平分线
△ACD与△ABC相似,所以：
AC:AB=AD:AC
AP=AC,所以AP:AB=AD:AP
所以△APD与△ABP相似
所以∠APD=∠ABP
1、
∠CAP=180°-2∠ACP
=2×(180°-∠ACD-∠DCP)
=2×(90°-∠ABC-∠ABP)
=2×(90°-2∠ABP-∠PBC)
2、
∠PAB=180°-∠APB-∠ABP
=180°-∠APD-∠DPB-∠ABP
=180°-∠ABP-（90°+∠PBC）-∠ABP
=90°-∠PBC-2∠ABP
所以∠CAP=2∠PAB
∠BAC=3∠BAP
希望能解决您的问题.