已知在△ABP中C是BP边上一点∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆AD是⊙O的直径而且交BO于点E

Question

已知 在△ABP中 C是BP边上一点 ∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆 AD是⊙O的直径 而且交BO于点E

Answer 1

1,证明：连接CD,已知∠PBA=∠ADC=∠PAC,而∠ADC+∠CAD=90,所以∠CAD+∠PAC=90,即PA是外接圆切线
2,因为∠PBA=∠PAC=∠ACG,故△GCA∽△CBA,则有AG/AC=AC/AB,
即(AC)^2=AG*AB=12,所以AC=2√3
3,因为△ACF∽△ADC,所以有AC/AD=AF/AC,即AD*AF=12,而AF:FD=1:2,求得AF=2,AD=6,所以半径为3；由根据△GCA∽△CBA得到∠ACE=∠AGC,AG=√5
所以sin∠ACE=sin∠AGC=AF/AG=2√5/5