如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接AA1，射线AA1分别交射线PB、

Question

如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P，连接AA₁，射线AA₁分别交射线PB、射线B₁B于点E、F．
（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在______关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；
（2）如图2，设∠ABP=β．当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设DP=x，△A₁BB₁的面积为S，求S关于x的函数关系式．

Answer 1

（1）相似（1分）
由题意得：∠APA₁=∠BPB₁=α，AP=A₁P，BP=B₁P，
则∠PAA₁=∠PBB₁=(180°−α)/(2)＝90°−(α)/(2)，（2分）
∵∠PBB₁=∠EBF，
∴∠PAE=∠EBF，
又∵∠BEF=∠AEP，∠EBF=∠EAP，
∴△BEF∽△AEP；（3分）

（2）存在，理由如下：（4分）
∵∠PAE=∠EBF，∠AEP=∠BEF，
∴△BEF∽△AEP，
若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可，（5分）
∴∠BAE=∠ABE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=60°−(90°−(α)/(2))＝(α)/(2)−30°，
∵∠ABE=β，∠BAE=∠ABE，（6分）
∴(α)/(2)−30°＝β，
即α=2β+60°；（7分）

（3）连接BD，交A₁B₁于点G，
过点A₁作A₁H⊥AC于点H．
∵∠B₁A₁P=∠A₁PA=60°，
∴A₁B₁∥AC，
由题意得：AP=A₁P=2+x，∠A=60°，
∴△PAA₁是等边三角形，
∴A₁H=sin60°A₁P=(√(3))/(2)(2+x)，（8分）
在Rt△ABD中，BD=2√(3)，
∴BG=2√(3)−(√(3))/(2)(2+x)＝√(3)−(√(3))/(2)x，（9分）
∴S△A1BB1＝(1)/(2)×4×(√(3)−(√(3))/(2)x)＝2√(3)−√(3)x（0≤x＜2）．（10分）