关于求反函数的问题求y=shx的反函数,先解出x=shy=(e^y-e^y)/2,然后再令u=e^y,在求出y与x的关系式.我弄不明白的是前面x=shy=(e^y-e^y)/2,不是已经给出了关系式,只要直接把x换成y,把y换成x行了,为什么还

Question

关于求反函数的问题
求y=shx的反函数,先解出x=shy=(e^y-e^y)/2,然后再令u=e^y,在求出y与x的关系式.
我弄不明白的是前面x=shy=(e^y-e^y)/2,不是已经给出了关系式,只要直接把x换成y,把y换成x行了,为什么还要令u=e^y,再求呢
我刚学,不太明白,

Answer 1

对于 y = shx 的反函数来说,y就是自变量,x就是函数了.
但人们习惯用y来表示函数,用x来表示自变量.
所以,先按照反函数中自变量和函数的表示方式,表达正函数.也就是在正函数 y = shx 中,把x,y互换.
就变成了
x = shy = [e^y - e^(-y)]/2.
在这个形式下,还是要发现 y 关于 x 的表达式.
所以,先令 u = e^y >0,[找到u 关于x的表达式]
x = [ u - 1/u ]/2
得到 u = u(x) = x + (x^2 + 1)^(1/2)
[另外一个解 u = x - (x^2 + 1)^(1/2) < 0,舍掉了 ]
再根据
u = e^y = x + (x^2 + 1)^(1/2)
解出,y 关于 x的表达式,
y = ln[x + (x^2 + 1)^(1/2)]
从而得到反函数
y = ln[x + (x^2 + 1)^(1/2)]