已知各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）若数列{an}，{an2}都是等差数列，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若2Sn＝an2+an，试比较1a1a2+1a2a3+…+1anan+1与1的大小．

Question

已知各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）若数列{a_n}，{an2}都是等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若2Sn＝an2+an，试比较(1)/(a1a2)+(1)/(a2a3)+…+(1)/(anan+1)与1的大小．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n}，{an2}都是等差数列，设数列{a_n}的公差为d，
∴2a22=a12+a32，∴2（a₁+d）²=a12+（a₁+2d）²，
∵a₁=1，∴2（1+d）²=1+（1+2d）²，
整理，得2d²=0，∴d=0，∴a_n=1．…5分
（Ⅱ）由于2Sn＝an2+an①
当n≥2时，2Sn−1＝an−12+an−1②
由①-②得：an+an−1＝

a

2 n

−an−12，
又a_n＞0∴an−an−1＝1 (n≥2，n∈N*)，…10分
又a₁=1，∴a_n=n；
∴(1)/(a1a2)+(1)/(a2a3)+…+(1)/(anan+1)
=(1)/(1×2)+(1)/(2×3)+…+(1)/(n(n+1))
=（1-(1)/(2)）+（(1)/(2)−(1)/(3)）+…+（(1)/(n)−(1)/(n+1)）
=1-(1)/(n+1)＜1．…13分．