已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3，∠BAD=60°．长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与共一个顶点D的三个面所围

Question

已知直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各条棱长均为3，∠BAD=60°．长为2的线段MN的一个端点M在DD₁上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与共一个顶点D的三个面所围成的几何体的体积为 ______．

Answer 1

|MN|=2，则|DP|=1，则点P轨迹是以点D为球心，半径r=1的球，
则球的体积为V＝(4)/(3)π•r3＝(4π)/(3)，
∵∠BAD＝60°∴∠ADC＝120°＝(1)/(3)•360°，
只取半球的(1)/(3)，则V＝(4)/(3)π•(1)/(3)•(1)/(2)＝(2π)/(9).；
故答案为(2π)/(9)．