如图，已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC1的中点，A1D⊥BE．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角B-DE-C的大小；（Ⅲ）求点B到平面A1DE的距离．

Question

如图，已知直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC₁的中点，A₁D⊥BE．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的大小；
（Ⅲ）求点B到平面A₁DE的距离．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥面ABCD
又∵AD⊥BD，∴A₁D⊥BD．…（2分）
又A₁D⊥BE，∴A₁D⊥平面BDE．…（3分）
（Ⅱ）连B₁C．∵A₁B₁∥CD，∴B₁C∥A₁D．∵A₁D⊥BE，∴B₁C⊥BE，
∴∠BB₁C=∠CBE，∴Rt△BB₁C∽Rt△CBE，
∴(BC)/(BB1)＝(CE)/(BC)．∵CE＝(1)/(2)BB1，BC＝AD＝a，∴(1)/(2)B

B

2 1

＝BC2＝a2，∴BB1＝√(2)a．…（5分）
取CD中点M，连BM．∵CD＝√(2)a，∴BM＝(√(2))/(2)a．
过M作MN⊥DE于N，连BN．∵平面CD₁⊥平面BD，BM⊥CD，∴BM⊥平面CD₁，
∴BN⊥DE，∴∠BNM就是二面角B-DE-C的平面角．…（7分）∵sin∠MDN＝(MN)/(DM)＝(CE)/(DE)，DE＝√(CE2+CD2)＝√((作业帮用户2017-09-26举报问题解析（Ⅰ）由直平行六面体ABCD-A1B1C1D1，可知AA1⊥面ABCD，根据A1D⊥BD，A1D⊥BE，可证A1D⊥平面BDE．（Ⅱ）过M作MN⊥DE于N，连BN．易证BNM就是二面角B-DE-C的平面角，在Rt△BMN中，可求二面角B-DE-C的大小；（Ⅲ）易证BN⊥平面A1DE，从而BN的长就是点B到平面A1DE的距离，故可求点B到平面A1DE的距离．名师点评本题考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．考点点评：本题以直平行六面体为载体，考查线面垂直，考查面面角，考查点面距离，关键是利用线面垂直的判定定理，正确表示面面角，线面距离的线段．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)