函数f（x）=2lnx - x² - kx（k∈R）,若函数f（x）存在两个零点m,n（0＜m＜n）,且2x0=m＋n.问：函数f（x）在点（x0,f（x0））处的切线能否平行于x轴?若能,求出该切线方程；若不能,说明理由.

Question

函数f（x）=2lnx - x² - kx（k∈R）,若函数f（x）存在两个零点m,n（0＜m＜n）,且2x0=m＋n.问：函数f（x）在点（x0,f（x0））处的切线能否平行于x轴?若能,求出该切线方程；若不能,说明理由.

Answer 1

假设：函数f(x)在点(x0,f(x0))处的切线平行于x轴
根据题意得：
2lnm-m²-km=0 ①
2lnn-n²-kn=0 ②
m+n=2x0 ③
2/x0-2x0-k=0 ④

①-②得：ln(m/n)-(m+n)(m-n)=k(m-n)
∴k=[2ln(m/n)]/(m-n)-2x0
由④变式得：k=2/x0-2x0
∴ln(m/n)=2(m-n)/(m+n)=2(m/n-1)/(m/n+1) ⑤
设：u=m/n∈(0,1)
由⑤变式得：lnu-2(u-1)/(u+1)=0 u∈(0,1)
设：g(u)=lnu-2(u-1)/(u+1) u∈(0,1)
求导得：
g'(u)=1/u-[2(u+1)-2(u-1)]/(u+1)²
=[(u+1)²-4u]/u(u+1)²
=(u-1)²/u(u+1)²＞0
∴函数g(u)=lnu-2(u-1)/(u+1)在(0,1)上单调递增
∴g(u)＜g(1)=0
即：lnu-2(u-1)/(u+1)＜0
即：ln(m/n)＜2(m/n-1)/(m/n+1),与⑤矛盾
故：函数f(x)在点(x0,f(x0))处的切线不能平行于x轴

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