设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜1a．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜x12．

Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜(1)/(a)．
（1）当x∈（0，x₁）时，证明x＜f （x）＜x₁；
（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x₀对称，证明x₀＜(x1)/(2)．

Answer 1

证明：（1）令F（x）=f（x）-x．因为x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，所以
F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
当x∈（0，x₁）时，由于x₁＜x₂，得（x-x₁）（x-x₂）＞0，又a＞0，得
F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＞0，
即x＜f（x）．
x₁-f（x）
=x₁-[x+F（x）]
=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）
=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]
因为0＜x＜x1＜x2＜(1)/(a)
所以x₁-x＞0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0．
得x₁-f（x）＞0．
由此得f（x）＜x₁．
（2）依题意知x0＝−(b)/(2a)
因为x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，即x₁，x₂是方程ax²+（b-1）x+c=0的根．
∴x1+x2＝−(b−1)/(a)，x0＝−(b)/(2a)＝(a(x1+x2)−1)/(2a)＝(ax1+ax2−1)/(2a)
因为ax₂＜1，所以x0＜(ax1)/(2a)＝(x1)/(2)．