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设n是正整数,且是15的倍数,n=15m.已知m是完全平方数,120×n是完全立方数,36×n是完全5次方数,则n的最小值是.
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设n是正整数,且是15的倍数,n=15m.已知m是完全平方数,120×n是完全立方数,36×n是完全5次方数,则n的最小值是______.
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答案和解析
∵120×15=23×32×52,
又∵n=15m,120×n是完全立方数,
即120×15m是完全立方数,
∴设m=23a×33b+1×53c+1[(a=0,1,2…),(b,c=1,2…)],
∵m是完全平方数,
∴设a=2d,b=(2e-1),b=(2f-1),
∴m=26d×36e-2×56f-2[(d=0,1,2…),(e,f=1,2…)],
∴36×n=36×15m=22×33×51m=26d+2×36e+1×56f-1[(d=0,1,2…),(e,f=1,2…)],
∵36×n是完全5次方数,
∴设d=5g+3,e=5h-1,f=5k-4,
∴36×n=230g+20×330h-5×530k-25[(g=0,1,2…),(h,k=1,2…)]
∴取最小值:g=0,h=k=1可得:36×n=220×325×55,
∴n=218×323×55.
又∵n=15m,120×n是完全立方数,
即120×15m是完全立方数,
∴设m=23a×33b+1×53c+1[(a=0,1,2…),(b,c=1,2…)],
∵m是完全平方数,
∴设a=2d,b=(2e-1),b=(2f-1),
∴m=26d×36e-2×56f-2[(d=0,1,2…),(e,f=1,2…)],
∴36×n=36×15m=22×33×51m=26d+2×36e+1×56f-1[(d=0,1,2…),(e,f=1,2…)],
∵36×n是完全5次方数,
∴设d=5g+3,e=5h-1,f=5k-4,
∴36×n=230g+20×330h-5×530k-25[(g=0,1,2…),(h,k=1,2…)]
∴取最小值:g=0,h=k=1可得:36×n=220×325×55,
∴n=218×323×55.
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