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如图，已知点M是以AB为直径的半圆上的一个三等分点，点N是弧BM的中点，点P是直径AB上的点．若⊙O的半径为1．（1）用尺规在图中作出点P，使MP+NP的值最小（保留作图痕迹，不写作法）；（
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如图，已知点M是以AB为直径的半圆上的一个三等分点，点N是弧BM的中点，点P是直径AB上的点．若⊙O的半径为1．
（1）用尺规在图中作出点P，使MP+NP的值最小（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求MP+NP的最小值．
（1）用尺规在图中作出点P，使MP+NP的值最小（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求MP+NP的最小值．
▼优质解答
答案和解析
（1）如图1所示；
（2）如图2，
连接OM′，ON，
∵点M是以AB为直径的半圆上的一个三等分点，点N是弧BM的中点，
∴∠BON=360°×
=30°，
∠M′OB=360°×
=60°，
∴∠M′ON=90°，
∴△OM′N是等腰直角三角形，
∴M′N=
=
=
．
（2）如图2，
连接OM′，ON，∵点M是以AB为直径的半圆上的一个三等分点，点N是弧BM的中点，
∴∠BON=360°×
| 1 |
| 12 |
∠M′OB=360°×
| 1 |
| 6 |
∴∠M′ON=90°，
∴△OM′N是等腰直角三角形，
∴M′N=
| ON2+OM′2 |
| 12+12 |
| 2 |
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