初等数论问题质数原根如果p和2p+1是奇自然数,证φ（4p+2）=φ（4p）+2如果p和2p-1是奇自然数,n=2（2p-1）证φ（n）=φ（n+2)打错了p2p+1和2p-1都是奇数素数prime

Question

初等数论问题 质数原根
如果p和2p+1 是奇自然数,证 φ（4p+2）=φ（4p）+2
如果p和2p-1 是奇自然数,n=2（2p-1） 证 φ（n）=φ（n+2)
打错了 p 2p+1 和2p-1 都是奇数 素数prime

Answer 1

φ(x) 就是小于x的自然数中,与x互质的数.
q=2p+1是奇质数.所以在小于4p+2=2q的自然数中,与2q不互质的有：
偶数（q-1个）,q的倍数（1个）
所以,φ(2q)=(2q-1)-(q-1)-1=q-1=2p
4p,p是奇质数.所以小于4p的自然数中,与4p不互质的有：
偶数（2p-1个）,p的倍数（3个）,其中既是偶数又是p的倍数的有1个（就是2p）.
所以,φ(4p)=(4p-1)-(2p-1)-3+1=2p-2
所以,第一问得证.
第2问：
r=2p-1是奇质数.所以在小于n=2r的自然数中,与2r不互质的有：
偶数（r-1个）,r的倍数（1个）
所以,φ(2r)=(2r-1)-(r-1)-1=r-1=2p-2
n+2=4p,p是奇质数.根据第1问的分析,φ(4p)=2p-2
所以,第二问得证.