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如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E,F在AC上,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC.求证:(1)CD⊥DF;(2)BC=2CD.
题目详情
如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E,F在AC上,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC.
求证:
(1)CD⊥DF;
(2)BC=2CD.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532708270-6829.jpg)
(1)CD⊥DF;
(2)BC=2CD.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵AB=AD,
∴弧AB=弧AD,∠ADB=∠ABD.
∵∠ACB=∠ADB,∠ACD=∠ABD,
∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD.
∴∠ADB=(180°-∠BAD)÷2=90°-∠DFC.
∴∠ADB+∠DFC=90°,即∠ACD+∠DFC=90°,
∴CD⊥DF.
(2)过F作FG⊥BC于点G,![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532708270-5058.jpg)
∵∠ACB=∠ADB,
又∵∠BFC=∠BAD,
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB.
∴FB=FC.
∴FG平分BC,G为BC中点,∠GFC=
∴弧AB=弧AD,∠ADB=∠ABD.
∵∠ACB=∠ADB,∠ACD=∠ABD,
∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD.
∴∠ADB=(180°-∠BAD)÷2=90°-∠DFC.
∴∠ADB+∠DFC=90°,即∠ACD+∠DFC=90°,
∴CD⊥DF.
(2)过F作FG⊥BC于点G,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532708270-5058.jpg)
∵∠ACB=∠ADB,
又∵∠BFC=∠BAD,
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB.
∴FB=FC.
∴FG平分BC,G为BC中点,∠GFC=
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