已知x，y，z是周长等于1的三角形ABC的三边，（1）求证：（1-x）（1-y）（1-z）≥8xyz（2）求证：x2+y2+z2≥13．

Question

已知x，y，z是周长等于1的三角形ABC的三边，
（1）求证：（1-x）（1-y）（1-z）≥8xyz   
（2）求证：x²+y²+z²≥(1)/(3)．

Answer 1

证明：（1）依题知 x，y，z是正数，且x+y+z=1代入
左=（1-x）（1-y）（1-z）=（y+z）（x+z）（x+y）≥2√(yz)×2√(xz)×2√(xy)=8xyz；
（2）要证：x²+y²+z²≥(1)/(3)，
即证3（x²+y²+z²）≥1，
x+y+z=1代入即证3（x²+y²+z²）≥（x+y+z）²，
展开后即证
x²+y²+z²≥xy+yz+zx，
由x²+y²≥2 xy，y²+z²≥2yz x²+z²≥2zx，
再同向相加得证．
∴x²+y²+z²≥(1)/(3)．