f（x）在[1，+∞）单减连续可微，limx→+∞f（x）=0，证明：当∫+∞1xf（x）dx收敛，则limx→∞xf（x）=0．

Question

f（x）在[1，+∞）单减连续可微，

lim

x→+∞

f（x）=0，证明：当

∫

+∞ 1

xf（x）dx收敛，则

lim

x→∞

xf（x）=0．

Answer 1

证明：设u_n=

∫

n+1 n

xf(x)dx，
则由已知条件可得，
级数

∞

n＝1

un收敛．
再利用级数收敛的必要条件可得，

lim

n→∞

un＝0．
因为f（x）在[1，+∞）单减连续，

lim

x→+∞

f（x）=0，
所以f（x）≥0，
u_n=

∫

n+1 n

xf(x)dx＞nf（n+1）≥0，
从而 

lim

n→∞

nf(n+1)＝0，

lim

n→∞

(n−1)f(n)(n＝m+1.)/()

lim

m→∞

mf(m+1)＝0，

lim

n→∞

(n+1)f(n)＝

lim

n→∞

(n+1)/(n−1)•

lim

n→∞

(n−1)f(n)＝0．
由于[x]f（[x]+1）≤xf（x）≤（[x]+1）f（[x]），
所以

lim

x→∞

xf(x)＝0．