若实数a,b,c满足2^a+2^b=2^(a+b),2^a+2^b+2^c=2^(a+b+c),则c的最大值是

Question

若实数a,b,c满足2^a+2^b=2^(a+b),2^a+2^b+2^c=2^(a+b+c),则c的最大值是

Answer 1

设2^a=x 2^b=y 2^c=z(x,y,z都大于0的)
由题意
x+y=xy
x+y+z=xyz
先根据第一个方程解得
y=x/(x-1)(这里得到x肯定大于1的,后面的均值不等式要用到这个)
根据第二个方程
z=(x+y)/(xy-1)(带入y=x/(x-1))
=x²/(x²-x+1)=1+(x-1)/(x²-x+1)
=1+(x-1)/[(x-1)²+(x-1)+1]
=1+1/[(x-1)+1/(x-1)+1]
其中(x-1)+1/(x-1)≥2(均值不等式)
仅当x-1=1 x=2的时候取最小值
所以原式≤1+1/(2+1)=4/3
也就是2^c=Zmax=4/3
Cmax=log2(4/3)
这时候x=2 y=2 也就是a=b=1