双曲线计算已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1被一条斜率为6的直线L截得的弦的中点为（41）求e

Question

双曲线计算
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1被一条斜率为6的直线L截得的弦的中点为（4 1） 求e

Answer 1

弦AB A(x1,y1) B(x2,y2)
A,B在双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上
x1^2/a^2-y1^2/b^2=1
x2^2/a^2-y2^2/b^2=1 相减
(x1-x2)(x1+x2)/a^2-(y1-y2)(y1+y2)/b^2=0
斜率为6 ( y1-y2)/(x1-x2)=6
弦的中点为（4 1）
x1+x2=8 y1+y2=2 代入
8/a^2-2*6/b^2=0
12a^2=8b^2
3a^2=2b^2 c^2=a^2+b^2=5a^2/2
e=c/a=√[5a^2/2a^2]=√10/2