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(2011•包头)在Rt△ABC中,AB=BC=5,∠B=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处,将三角板绕点O旋转,三角板的两直角边分别交AB,BC或其延长线于E,F两点,如图(1)与
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(2011•包头)在Rt△ABC中,AB=BC=5,∠B=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处,将三角板绕点O旋转,三角板的两直角边分别交AB,BC或其延长线于E,F两点,如图(1)与(2)是旋转三角板所得图形的两种情况.
(1)三角板绕点O旋转,△OFC是否能成为等腰直角三角形?若能,指出所有情况(即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长);若不能,请说明理由;
(2)三角板绕点O旋转,线段OE和OF之间有什么数量关系?用图(1)或(2)加以证明;
(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图(3)),当AP:AC=1:4时,PE和PF有怎样的数量关系?证明你发现的结论.
(1)三角板绕点O旋转,△OFC是否能成为等腰直角三角形?若能,指出所有情况(即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长);若不能,请说明理由;
(2)三角板绕点O旋转,线段OE和OF之间有什么数量关系?用图(1)或(2)加以证明;
(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图(3)),当AP:AC=1:4时,PE和PF有怎样的数量关系?证明你发现的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)△OFC是能成为等腰直角三角形,
①当F为BC的中点时,
∵O点为AC的中点,
∴OF∥AB,
∴CF=OF=
AB=
,
∵AB=BC=5,
∴BF=
,
②当B与F重合时,
∵OF=OC=
,
∴BF=0;
(2)如图1,连接OB,
∵由(1)的结论可知,BO=OC=
,
∵∠EOB=∠FOC,∠EBO=∠C,
∴△OEB≌△OFC,
∴OE=OF.
(3)如图3,过点P作PM⊥AB,PN⊥BC,
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°,
∴∠EPM=∠FPN,
∵∠AMP=∠FNP=90°,
∴△PNF∽△PME,
∴PM:PN=PE:PF,
∵△APM和△PNC为等腰直角三角形
∴△APM∽△PNC,
∴PM:PN=AP:PC,
∵PA:AC=1:4,
∴PE:PF=1:3.
①当F为BC的中点时,
∵O点为AC的中点,
∴OF∥AB,
∴CF=OF=
1 |
2 |
5 |
2 |
∵AB=BC=5,
∴BF=
5 |
2 |
②当B与F重合时,
∵OF=OC=
5 |
2 |
2 |
∴BF=0;
(2)如图1,连接OB,
∵由(1)的结论可知,BO=OC=
5 |
2 |
2 |
∵∠EOB=∠FOC,∠EBO=∠C,
∴△OEB≌△OFC,
∴OE=OF.
(3)如图3,过点P作PM⊥AB,PN⊥BC,
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°,
∴∠EPM=∠FPN,
∵∠AMP=∠FNP=90°,
∴△PNF∽△PME,
∴PM:PN=PE:PF,
∵△APM和△PNC为等腰直角三角形
∴△APM∽△PNC,
∴PM:PN=AP:PC,
∵PA:AC=1:4,
∴PE:PF=1:3.
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