证明：e^x+e^-x+2cosx=5恰有2个根?

Question

证明：e^x+e^-x+2cosx=5恰有2个根?

Answer 1

记f(x) = e^x + e^-x + 2cosx
f'(x) = e^x - e^-x - 2sinx
f''(x) = e^x + e^-x - 2cosx
e^x + e^-x ≥ 2
2cosx ≤ 2
所以f''(x) ≥ 0
f'(x)单调递增
x趋于负无穷时,e^x趋于0,- e^-x趋于负无穷,|2sinx| ≤ 2,f'(x)趋于负无穷
x趋于正无穷时,f'(x)趋于正无穷
所以f(x)的形状是先减后增（类似于开口向上的抛物线,但不一样）
所以f(x) = 5的解有三种情况,无解,有一个解和有两个解
f(0) = 4
即f(x)最小值小于等于4
所以有两个根且只有两个根