（2013•太原）综合与探究：如图，抛物线y=14x2-32x-4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐

Question

（2013•太原）综合与探究：
如图，抛物线y=(1)/(4)x²-(3)/(2)x-4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A，B，C的坐标．
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当y=0时，(1)/(4)x²-(3)/(2)x-4=0，解得x₁=-2，x₂=8，
∵点B在点A的右侧，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）．
当x=0时，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4）．

（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，则

b＝4

8k+b＝0

，
解得k=-(1)/(2)，b=4．
∴直线BD的解析式为y=-(1)/(2)x+4．
∵l⊥x轴，
∴点M的坐标为（m，-(1)/(2)m+4），点Q的坐标为（m，(1)/(4)m²-(3)/(2)m-4）．
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（-(1)/(2)m+4）-（(1)/(4)m²-(3)/(2)m-4）=4-（-4）．
化简得：m²-4m=0，
解得m₁=0（不合题意舍去），m₂=4．
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．
此时，四边形CQBM是平行四边形．
解法一：∵m=4，
∴点P是OB的中点．
∵l⊥x轴，
∴l∥y轴，
∴△BPM∽△BOD，
∴(BP)/(BO)=(BM)/(BD)=(1)/(2)，
∴BM=DM，
∵四边形CQMD是平行四边形，
∴DM

∥

.

CQ，
∴BM

∥

.

CQ，
∴四边形CQBM是平行四边形．

解法二：设直线BC的解析式为y=k₁x+b₁，则

作业帮用户 2017-10-02 举报

问题解析

（1）根据坐标轴上点的特点，可求点A，B，C的坐标．
（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性质可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQBM的形状；
（3）分DQ⊥BD，BQ⊥BD两种情况讨论可求点Q的坐标．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，菱形的对称性，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．

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