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已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为2,若将图象沿y轴方向向上平移3个单位,则图象恰好经过原点,且与x轴两交点间的距离为4,求原二次函数的表达式.
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已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为2,若将图象沿y轴方向向上平移3个单位,则图象恰好经过原点,且与x轴两交点间的距离为4,求原二次函数的表达式.
▼优质解答
答案和解析
∵新抛物线的图象恰好经过原点,且与x轴两交点间的距离为4,
∴此抛物线与x轴的交点为:(0,0),(4,0)或(-4,0),
∴设新抛物线的解析式为:y=ax2+bx(a≠0).
①当抛物线过:(0,0),(4,0)时,把x=4,y=0代入得,16a+4b=0,即b=-4a,
∴新抛物线的解析式为:y=ax2-4ax,
∴原抛物线的解析式为:y=ax2-4ax-3,
设原抛物线与x轴的两交点坐标分别为(x1,0),(x2,0)则|x2-x1|=2,
由根与系数的关系可知,x1+x2=4,x1•x2=-
,
∴(x2-x1)2=4,
∴(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1•x2
=16-4×(-
)
=16+
,
∵(x2-x1)2=4,
∴16+
=4,解得a=-1,
∴原二次函数的解析式为:y=-x2+4x-3;
②当抛物线过:(0,0),(-4,0)时,把x=-4,y=0代入得,16a-4b=0,即b=4a,
∴新抛物线的解析式为:y=ax2+4ax,
∴原抛物线的解析式为:y=ax2+4ax-3,
同①可得a=-1,
∴原二次函数的解析式为:y=-x2-4x-3.
故答案为:y=-x2+4x-3或y=-x2-4x-3.
∴此抛物线与x轴的交点为:(0,0),(4,0)或(-4,0),
∴设新抛物线的解析式为:y=ax2+bx(a≠0).
①当抛物线过:(0,0),(4,0)时,把x=4,y=0代入得,16a+4b=0,即b=-4a,
∴新抛物线的解析式为:y=ax2-4ax,
∴原抛物线的解析式为:y=ax2-4ax-3,
设原抛物线与x轴的两交点坐标分别为(x1,0),(x2,0)则|x2-x1|=2,
由根与系数的关系可知,x1+x2=4,x1•x2=-
3 |
a |
∴(x2-x1)2=4,
∴(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1•x2
=16-4×(-
3 |
a |
=16+
12 |
a |
∵(x2-x1)2=4,
∴16+
12 |
a |
∴原二次函数的解析式为:y=-x2+4x-3;
②当抛物线过:(0,0),(-4,0)时,把x=-4,y=0代入得,16a-4b=0,即b=4a,
∴新抛物线的解析式为:y=ax2+4ax,
∴原抛物线的解析式为:y=ax2+4ax-3,
同①可得a=-1,
∴原二次函数的解析式为:y=-x2-4x-3.
故答案为:y=-x2+4x-3或y=-x2-4x-3.
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