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狄利克雷是德国著名数学家,函数D(x)=1,x为有理数0,x为无理数被称为狄利克雷函数,
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狄利克雷是德国著名数学家,函数D(x)=
被称为狄利克雷函数,下面给出关于狄利克雷函数D(x)的五个结论:
①若x是无理数,则D(D(x))=0;
②函数D(x)的值域是[0,1];
③函数D(x)偶函数;
④若T≠0且T为有理数,则D(x+T)=D(x)对任意的x∈R恒成立;
⑤存在不同的三个点A(x1,D(x1)),B(x2,D(x2)),C(x3,D(x3)),使得△ABC为等边角形.
其中正确结论的序号是___.
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①若x是无理数,则D(D(x))=0;
②函数D(x)的值域是[0,1];
③函数D(x)偶函数;
④若T≠0且T为有理数,则D(x+T)=D(x)对任意的x∈R恒成立;
⑤存在不同的三个点A(x1,D(x1)),B(x2,D(x2)),C(x3,D(x3)),使得△ABC为等边角形.
其中正确结论的序号是___.
▼优质解答
答案和解析
①∵当x为有理数时,D(x)=1;当x为无理数时,D(x)=0,
∴当x为有理数时,D(D(x))=D(1)=1;当x为无理数时,D(D(x))=D(0)=1,
即不管x是有理数还是无理数,均有D(D(x))=1,故①不正确;
②∵有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,
∴对任意x∈R,都有D(-x)=D(x),故②正确;
③若x是有理数,则x+T也是有理数; 若x是无理数,则x+T也是无理数,
∴根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,D(x+T)=D(x)对x∈R恒成立,故③正确;
④取x1=-
,x2=0,x3=
,可得D(x1)=0,D(x2)=1,D(x3)=0,
∴A(
,0),B(0,1),C(-
,0),恰好△ABC为等边三角形,故④正确.
即真命题是②③④,
故答案为:②③④.
∴当x为有理数时,D(D(x))=D(1)=1;当x为无理数时,D(D(x))=D(0)=1,
即不管x是有理数还是无理数,均有D(D(x))=1,故①不正确;
②∵有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,
∴对任意x∈R,都有D(-x)=D(x),故②正确;
③若x是有理数,则x+T也是有理数; 若x是无理数,则x+T也是无理数,
∴根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,D(x+T)=D(x)对x∈R恒成立,故③正确;
④取x1=-
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3 |
| ||
3 |
∴A(
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3 |
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3 |
即真命题是②③④,
故答案为:②③④.
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