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用中值定理证明不等式x/1＋x＜ln（1＋x）＜x（x＞0）
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用中值定理证明不等式 x/1＋x＜ln（1＋x）＜x （x＞0）
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答案和解析
设f(x)＝lnx.
存在一实数ξ∈(1,1+x),则
f'(ξ)＝1/ξ.
依拉格朗日中值定理得
f(1+x)-f(1)＝f'(ξ)·[(1+x)-1]
→f'(ξ)＝1/ξ＝[ln(1+x)-ln1]/x.
∴ξ＝x/ln(1+x).
∴1
存在一实数ξ∈(1,1+x),则
f'(ξ)＝1/ξ.
依拉格朗日中值定理得
f(1+x)-f(1)＝f'(ξ)·[(1+x)-1]
→f'(ξ)＝1/ξ＝[ln(1+x)-ln1]/x.
∴ξ＝x/ln(1+x).
∴1
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