（2014•揭阳模拟）已知等差数列数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1=3，b1=1，b2+S2=12，S2=b2q．（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）设cn=3bn-λ•2an3（λ∈R），若{cn}满

Question

（2014•揭阳模拟）已知等差数列数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，公比是q，且满足：a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设c_n=3b_n-λ•2 (an)/(3)（λ∈R），若{c_n}满足：c_n+1＞c_n对任意的n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由S₂=a₁+a₂=3+a₂，b₂=b₁q=q，且b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
∴

q+3+a2＝12

3+a2＝q2

，消去a₂得：q²+q-12=0，解得q=3或q=-4（舍），
∴a2＝q2−3＝32−3＝6，则d=a₂-a₁=6-3=3，
从而a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n，
bn＝b1qn−1＝3n−1；
（Ⅱ）∵a_n=3n，bn＝3n−1，∴cn＝3bn−λ•2(an)/(3)＝3n−λ2n．
∵c_n+1＞c_n对任意的n∈N^*恒成立，即：3ⁿ⁺¹-λ•2ⁿ⁺¹＞3ⁿ-λ•2ⁿ恒成立，
整理得：λ•2ⁿ＜2•3ⁿ对任意的n∈N^*恒成立，
即：λ＜2•((3)/(2))n对任意的n∈N^*恒成立．
∵y＝2•((3)/(2))x在区间[1，+∞）上单调递增，∴ymin＝2•(3)/(2)＝3，
∴λ＜3．
∴λ的取值范围为（-∞，3）．