（2006•湛江）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CB=2，CE=4，求AE的长．

Question

（2006•湛江）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CB=2，CE=4，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠DAE．（1分）
∵OE=OA，
∴∠BAE=∠OEA．（2分）
∴∠OEA=∠DAE．
∴OE∥AD．（3分）
∵AD⊥CD，
∴OE⊥CD．
∴CD是⊙O的切线．（4分）

（2）设r是⊙O的半径，
在Rt△CEO中，CO²=OE²+CE²，（5分）
即（2+r）²=r²+4²，
解得r=3．（6分）
∵OE∥AD，
∴△CEO∽△CDA，
∴(CO)/(AC)＝(OE)/(AD)＝(CE)/(CD)，（7分）
即(5)/(8)＝(3)/(AD)＝(4)/(4+ED)．
解得AD＝(24)/(5)，ED＝(12)/(5)．（8分）
∴AE＝√(AD2+ED2)=√(((24)/(5))2+((12)/(5))2)＝(12)/(5)√(5)．（9分）