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(2009•攀枝花)如图所示,已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,且OA=15,OC=9,在边AB上选取一点D,将△AOD沿OD翻折,使点A落在BC边上,

题目详情
(2009•攀枝花)如图所示,已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,且OA=15,OC=9,在边AB上选取一点D,将△AOD沿OD翻折,使点A落在BC边上,记为点E.
(1)求DE所在直线的解析式;
(2)设点P在x轴上,以点O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形,问这样的点P有几个,并求出所有满足条件的点P的坐标;
(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使四边形MNED的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意知,OE=OA=15,AD=DE,
在Rt△OCE中,由勾股定理得:CE=
OE2−OC2
=
225−81
=12,
∴BE=BC-CE=15-12=3
在Rt△BED中,由勾股定理知:AD2=DE2=BE2+BD2,即DE2=(9-DE)2+32
解得DE=5,
∴AD=5
∴D(15,5),E(12,9)
设DE直线的解析式为y=kx+b,
5=15k+b
9=12k+b

解得k=-
4
3
,b=25
∴DE直线的解析式为y=-
4
3
x+25;

(2)当在x的正半轴上,OP1=OE=15时,点P1与点A重合,则P1(15,0);
当在x的负半轴上,OP2=OE=15时,则P2(-15,0);
当OE=EP3时,作EH⊥OA于点H,有OH=CE=HP3=12,则P3(24,0);
当OP4=EP4时,由勾股定理知P4H2+EH2=P4E2,即(12-P4E)2+92=P4E2
解得OP4=EP4=
75
8
,即P4
75
8
,0);
∴满足△OPE为等腰三角形的点有四个:
P1(15,0);P2(-15,0);P3(24,0);P4
75
8
,0);

(3)作点D关于x的对称点D′,点E关于y轴的对称点E′,连接E′D′,
分别交于y轴、x轴于点N、点M,则点M、N是所求得的点.
在Rt△BE′D′中,D′E′=
E′B2+D′B2
=5